Ахвердян родился 11 января 1945 года в Тегеране, футболом начал заниматься с ранних лет. Уже в 13 лет Каро стал игроком команды "Гоар", широко известной среди местных армян и поставлявшей многообещающих футболистов титулованным клубам Тегерана. Там Каро провел пять сезонов, и это действительно был период становления перспективного футболиста, успеху которого во многом способствовал армянский тренер Аршавир Ерицян.
Вспоминая те дни, наш соотечественник говорил: ''Мы участвовали во многих юношеских турнирах и благодаря нашему тренеру добились значительных успехов. Я думал больше о футболе и, несмотря на сопротивление родителей, продолжал играть. Часто приходил домой с травмами, с ссадинами и царапинами на руках и ногах почти после каждой игры, но это не мешало мне заниматься любимым видом спорта''.
В 1962 году тренер армянского клуба ''Арарат'', выступающего в высшей лиге Ирана, Гарник Меграбян увидел игру Каро на юношеском турнире в Тегеранском районе Меджидие и заприметил молодого игрока. В следующем сезоне Каро и несколько его товарищей по команде пополнили ряды известного армянского клуба, придав игре "Арарата" силу и новое качество. Одно из самых ярких воспоминаний связано с победным дебютом Ахвердяна: армянская команда выиграла в принципиальном матче у клуба ''Огаб''. В сжатые сроки Каро стал одним из ведущих игроков основного состава и по указанию тренера Меграбяна перешел из защиты в центр поля, так как отличался прекрасными организаторскими способностями.
Каро Ахвердян отыграл в ''Арарате'' пять сезонов. В эти годы проявились его техническая подготовка, творческий подход к футболу, умение организовать игру, руководить действиями товарищей по команде. Это, конечно же, не осталось незамеченным. В 1968 году Каро подписал контракт с ''Таджем'', базовым клубом иранской сборной. После перехода в титулованный клуб наш соотечественник стал играть и за национальную дружину ''Меллинов''. Кстати, значительную роль в жизни армянского футболиста сыграл югославский тренер Здравко Райков. Он был первым иностранным специалистом, возглавившим сборную Ирана и одновременно руководившим клубом ''Тадж''. У Райкова было своеобразное футбольное мировоззрение, за короткий промежуток времени ему удалось качественно изменить игру иранцев, вдохнуть новую жизнь в действия команды. Ахвердяну, естественно, было отведено ключевое место в его тактических планах.
Дебют Ахвердяна в иранской сборной ознаменовался историческим успехом. В 1968 году команда "Меллинов" впервые в своей истории выиграла Кубок Азии, а в финале обыграла дома действующего обладателя кубка - сборную Израиля, со счетом 2:1. Принимая во внимание специфику сегодняшних отношений между этими странами, иранцы очень гордятся этой победой. Более того, для израильтян тот кубковый турнир стал последним под эгидой Азиатской конфедерации, потому что после эскалации палестино-израильского конфликта страны Лиги арабских государств и Исламской конференции бойкотировали игры с евреями. Длительное время оставаясь в стороне, израильская федерация в 1994 году присоединилась к УЕФА.
Каро Ахвердян добился значительных успехов не только в сборной, но и на клубном уровне. В 1971 году он в составе ''Таджа" завоевал титул чемпиона страны. А годом ранее клуб выиграл первый Кубок чемпионов Азии. Кстати, финал того турнира вновь вылился в ирано-израильское противостояние. Футболисты ''Таджа'' выиграли в Тегеране у "Апоэля" – 2:1. Третьим призером того памятного турнира стал армянский клуб "Хоменетмен" из Ливана. Уровень игры Ахвердяна с каждым годом повышался, благодаря результативности он стал одним из лидеров ''Таджа''. Каро хотели видеть под своими знаменами многие иранские клубы, ведь в 1975 году наш соотечественник уже стал двукратным чемпионом Ирана.
Запомнились также отборочные матчи чемпионата мира 1974 года. Каро, конечно же, активно тренировался и готовился к турниру, он гордился выступлением за национальную сборную. ''Меллины'' в отборочном турнире обыграли всех соперников в подгруппе, а в стыковых матчах померились силами с австралийской футбольной дружиной. Проиграв первую игру (0:3), иранцы добились реванша в ответном матче (2:0), однако разница в один гол, увы, оказалась роковой. Ахвердян мог стать первым иранским спортсменом армянского происхождения, участвовавшим в финальной стадии чемпионата мира по футболу. Каро Ахвердян завершил выступления в сборной в 1975 году, а через год закончил карьеру футболиста в клубе ''Тадж''.
Примечательно, что 13 апреля 1977 года в Тегеране с большой помпой была организована прощальная игра Каро Ахвердяна. В ней приняли участие, с одной стороны, звезды иранского футбола, а с другой - легендарные футболисты ''Арарата'' разных лет. Современники говорят о Каро Ахвердяне как о приветливом, дружелюбном человеке, внесшем большой вклад в феноменальный успех ''синих''. Каро Ахвердян, один из лидеров команды, придавший яркие краски ее игре, не заразился ''звездной болезнью''. А что же касается его одноклубников, они однозначно испытывали огромную радость, играя рядом с ним. Прежде всего потому, что познавали азы футбола и были причастны к великому искусству побеждать.